Question

18．已知抛物线y=mx²-4mx+4m-2（m是常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若m＞$\frac{2}{5}$，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用配方法把一般式配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）由于抛物线对称轴为直线x=2，而抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），则利用抛物线的对称性讨论：当抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）；当抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0）等，然后利用二次函数图象上点的坐标特征求出对应的m的值，再利用m＞$\frac{2}{5}$可确定满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．

解答 解：（1）y=mx²-4mx-2
=m（x-2）²-2-4m，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-2-4m）；
（2）因为抛物线的对称轴为直线x=2，
所以当抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），把（1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m-4m+4m-2=0，解得m=2，此时抛物线解析式为y=2x²-8x+6；
当抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），把（0，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得4m-2=0，解得m=$\frac{1}{2}$，此时抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
当抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），把（-1，0）代入y=mx²-4mx+4m-2得m+4m+4m-2=0，解得m=$\frac{2}{9}$，而m＞$\frac{2}{5}$，故舍去，
所以满足条件的抛物线解析式为y=2x²-8x+6或y=$\frac{1}{2}$x²-2x．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点．