Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，其顶点为D，对称轴为直线x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标．

　

Answer 1

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用对称性可得B（3，0），则利用交点式得抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）=ax²﹣2ax﹣3a，所以﹣3a=3，解得a=1，于是得到抛物线解析式为y=x²﹣2x﹣3；

（2）分类讨论：当AC=AM时，易得点M₁（0，3），如图；②当CM=CA时，先计算出AC=，再以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M₂，M₃，如图，易得M₂（0，﹣1），M₃（0，﹣﹣3）．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）和点B关于直线x=1对称，

∴B（3，0），

∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）=ax²﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x²﹣2x﹣3；

（2）当AC=AM时，点M₁与点C关于x轴对称，则M₁（0，3），如图；

②当CM=CA时，AC==，

以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M₂，M₃，如图，则OM₂=﹣1，OM₃=OC+CM₃=3+，则M₂（0，﹣1），M₃（0，﹣﹣3）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，3），（0，﹣1），（0，﹣﹣3）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是利用等腰三角形的性质画出点M的坐标．