Question

3．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（-6，0）．
（1）按下列要求用圆规和直尺画圆，以AB为斜边作等腰直角△ABP；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求满足（1）的P点坐标；
（3）点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线，然后在垂直平分线上找出到x轴的距离为5的点即为P点，这样△ABP为等腰直角三角形；
（2）利用画法直接写出P点坐标；
（3）以点P为圆心，PA为半径作圆交y轴于C点，作PH⊥y轴于H，如图，利用圆周角定理可判断∠ACB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，接着根据勾股定理计算出CH=7，于是可得到C（0，12），同理可得C′（0，-12）．

解答 解：（1）如图，△ABP和△ABP′为所作；
（2）点P在AB的垂直平分线上，则P点的横坐标为-1，
而AB=10，点P到AB的距离为$\frac{1}{2}$AB，
所以P点坐标为（-1，5）或（-1，-5）；
（3）以点P为圆心，PA为半径作圆交y轴于C点，作PH⊥y轴于H，如图，
则∠ACB=$\frac{1}{2}$∠APB=45°，
PC=PA=5$\sqrt{2}$，PH=1，
在Rt△PCH中，CH=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=7，
∴C（0，12），
同理可得C′（0，-12），
即满足条件的C点坐标为（0，12）或（0，-12）．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了等腰直角三角形和圆周角定理．