Question

【题目】已知，如图，正比例函数y=ax的图像与反比例函数的图像交于点A（3,2）．

（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；

（2）根据图像直接写出在第一象限内，的x的取值范围；

（3）M（m，n）是反比例函数图像上的一个动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，证：BM=DM.

Answer 1

【答案】（1）正比例函数表达式为y＝x，反比例函数表达式为（2）0＜x＜3（3）见解析

【解析】

（1）把A点坐标分别代入两函数解析式可求得a和k的值，可求得两函数的解析式；

（2）由反比例函数的图象在正比例函数图象的下方可求得对应的x的取值范围；

（3）用M点的坐标可表示矩形OCDB的面积和△OBM的面积，从而可表示出四边形OADM的面积，可得到方程，可求得M点的坐标，从而可证明结论．

（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数的图象交于点A（3，2），

∴2＝3a，2＝，解得a＝，k＝6，

∴正比例函数表达式为y＝x，反比例函数表达式为；

（2）由图象可知当两函数图象在直线CD的左侧时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，

∵A（3，2），

∴当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

（3）由题意可知四边形OCDB为矩形，

∵M（m，n），A（3，2），

∴OB＝n，BM＝m，OC＝3，AC＝2，

∴S矩形OCBD＝OCOB＝3n，S△OBM＝OBBM＝mn，S△OCA＝OCAC＝3，

∴S四边形OADM＝S矩形OCBDS△OBMS△OCA＝3nmn3，

当四边形OADM的面积为6时，则有3nmn3＝6，

又∵M点在反比例函数图象上，

∴mn＝6，

∴3n＝12，解得n＝4，则m＝，

∵BD＝OA＝3，

∴M为BD中点，

∴BM＝DM．