Question

【题目】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

(1) （思想应用）已知m， n均为正实数，且m+n=2求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n.

①用含m的代数式表示CE=_______， 用含n的代数式表示DE= ;

②据此求的最小值;

(2)（类比应用）根据上述的方法，求代数式的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）20.

【解析】

（1）①利用勾股定理得到CE=，DE=；

②根据CE+DE=+，利用两点之间线段得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD=，从而求解；

（2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到CE=，DE=；根据两点之间线段得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），根据四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD即可得到最小值．

解：（1）①在Rt△ACE中，，

在Rt△BDE中，DE=；
②CE+DE=+，

而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，

∴AH=BD=2，DH=AB=2，
在Rt△CHD中，CD=，

∴CE+DE的最小值为，即的最小值为；

（2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，

在Rt△ACE中，CE=，

在Rt△BDE中，DE=

∴CE+DE=+，

而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），

∵四边形ABDH为矩形，

∴AH=BD=7，DH=AB=16，

在Rt△CHD中，CD=

∴CE+DE的最小值为20，即的最小值为20．