Question

4．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，∠B=30°．求：
（1）⊙O的半径；（2）图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥AB，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=$\frac{1}{2}$OB=3cm；
（2）利用扇形面积公式和S_阴=S_△OBC-S_扇形OCD进行计算即可．

解答 解：（1）连接OC，则OC⊥AB．
在Rt△OBC中，
∵∠B=30°，OA=OB=6cm，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=3cm，
∴⊙O的半径为3cm；
（2）在Rt△OBC中，∠B=30°，
∴∠BOC=60°，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△OBC-S_扇形OCD=$\frac{1}{2}$BC•OC-$\frac{60×π×{3}^{2}}{360}$，
=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3-$\frac{3}{2}π$，
=$\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}π$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．