Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．

（1）如图1，已知点，；

①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是 ，最大值是 ；

②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；

（2）如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；

（3）如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①3，；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①观察图象d的最小值是OA长,最大值是OB长,由勾股定理得出结果;②由题意知P1；

（2）如图，可得OE1=3，解得此时x=，OE2=7，解得x=3，可求出范围；

（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．

解：（1）①由题意知：OA＝3，OB＝，则d的最小值是3，最大值是；

②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，

故答案为3，，P1；

（2）如图2中，

由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，

∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x＝，

同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝，

综上所述，满足条件的x的值为≤x≤；

（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，

∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧HK 相切，此时要想弧HK上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，如图3-1中，当CK=6时，作CM⊥HK于M．

则，解得：（舍去），

如图3-3中，当CH=6时，同法可得a=，b=，

在两者中间时，a=0，b=5，观察图象可知：满足条件的b的值为．