Question

9．如图（1）已知：△ABC是等腰三角形，AB=BC，点D为△ABC外一点，∠DBC=2∠DAC．
（1）求证：BD=BC．
（2）如图2，若∠BAC=60°，BG平分∠ABD，交CD的延长线于G，BG分别交AD、AC于点E、F，若EG=4EF，请你探究线段CF与BD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图①中，作BF平分∠DBC交AC、CD于E、F，根据题意可以证明∠BDA=∠BAD得BA=BD=BC．
（2）在图②中作DR∥BG交AC于R，利用平行成比例即可解决

解答 证明：（1）如图①中，作BF平分∠DBC交AC、CD于E、F，AC和BD交于点G．
∵∠DBC=2∠DAG，
∴∠DAG=∠GBE，
∵∠DAG+∠AGD+∠ADG=∠GBE+∠BGE+∠GEB=180°，∠AGD=∠BGE，
∴∠ADG=∠BEG，
∵∠BEG=∠BCE+∠EBC，∠BAD=∠BAC+∠DAG，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠DAG=∠EBC，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=BA=BC即BD=BC．
（2）结论：CF=$\frac{5}{8}$BD．
理由如下：在图②中作DR∥BG交AC于R．
∵AB=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=AC=AB，
∵BG平分∠ABD，
∴BG⊥AD，
∴AE=ED，
∵EF∥RD，
∴AF=FR，
∵EG=4EF，设EF=a，则EG=4a，FG=5a，RD=2EF=2a，
∴$\frac{RD}{FG}=\frac{RC}{CF}=\frac{2a}{5a}$=$\frac{2}{5}$，
设CR=2k，CF=5k，则RF=AF=3k，AC=8k，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{5k}{8k}$=$\frac{5}{8}$，
∴CF=$\frac{5}{8}$BD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、平行成比例的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．