Question

4．如图，直角梯形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AC⊥BE，交CD边于C，M是AD边上一点，且有BM=DM+AD，AD=BA．
（1）求证：CD=DE；
（2）求证：∠MBC=∠ABE．

Answer 1

分析 （1）根据AC⊥BE，求出∠AEB=∠ACD，推出△BAE≌△ADF，得出DC=AE，进一步得出答案即可；
（2）过点B作DC的垂线，垂足为点H，延长AD和BC交于点G，首先得出四边形ABHD是正方形，证△CDG≌△HCB和△ABE≌△CBH，结合BM=DM+AD，得出对应的角相等，整理得出结论即可．

解答 （1）证明：如图，

∵AC⊥BE，
∴∠AOE=90°，
∴∠EAC+∠AEB=90°，∠EAF+∠DCA=90°，
∴∠AEB=∠DCA，
在△BAE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠D}\\{∠AEB=∠DCA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADC，
∴AE=CD，
∵E为AD边上的中点，
∴AE=DE，
∴CD=DE；

（2）证明：如图，

过点B作DC的垂线，垂足为点H，延长AD和BC交于点G，
∵∠ADC=∠DAB=∠H=90°，AD=AB，
∴四边形ABHD是正方形，
∴AD=DH=BH，
∵E为AD边上的中点，CD=DE，
∴D为HD边上的中点，
∴DC=DH，
在△CDG和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠H=90°}\\{DC=CH}\\{∠GCD=∠HCB}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BHC，
∴GD=DH=AD，∠G=∠HBC，
∴BM=DM+AD=DM+DG=MG，
∴∠G=∠MBC，
∴∠HBC=∠MBC，
在△ABE和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BH}\\{∠EAB=∠H}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BHC，
∴∠ABE=∠HBC，
∴∠ABE=∠MBC．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用性质进行证明是解此题的关键，注意辅助线的做法是解决问题的难点．