Question

3．已知：反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若两个函数图象的交点A的坐标是（m，1），请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来（并在图中标出来）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．
（2）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

解答 解：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）两点代入一次函数解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2a}=b}\\{\frac{k}{2（a+1）}=b+k}\end{array}\right.$，
解得：k=2．
故反比例函数的解析式为：y=$\frac{1}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），
当AO=PO时
∵点A坐标是（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$，
∴P点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）；
当AO=AP时，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
当PO=AP时，PO=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
综上所述：点P坐标为：（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），（1，0），（2，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求解析式以及求反比例函数与一次函数的交点坐标，结合图象，分类讨论是解答此题的关键．