Question

【题目】阅读理解：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．

初步探究：（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．

问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为100m2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？

创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．

Answer 1

【答案】初步探究：（1）4；问题迁移：（2）x＝10m时，y有最小值，即所用栅栏最短；创新应用：（3）R＝2．

【解析】

（1）根据x＞0，令a=x，b=，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；
（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，根据题意表示出y与x的函数关系式，利用题中的新定义求出y取得最小值时x的值即可；
（3）设直线AB解析式为y=kx+b，把P坐标代入用k表示出b，进而表示出A与B坐标，确定出OA与OB的长，得出三角形AOB面积，利用题中的新定义求出三角形AOB面积最小时k的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB内切圆半径．

解：（1）令a＝x，b＝（x＞0），

由a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，

当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4；

（2）设一直角边为xm，则另一直角边为m，栅栏总长为ym，

y＝x+，

当且仅当x＝时，即x＝10m时，y有最小值，即所用栅栏最短；

（3）设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把P（3，4）代入得：4＝3k+b，

整理得：b＝4﹣3k，

∴直线AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，

当x＝0时，y＝4﹣3k；当y＝0时，x＝，

即A（0，4﹣3k），B（，0），

∴S△AOB＝OBOA＝（4﹣3k）＝12﹣（），

∵要使△AOB的面积最小，

∴必须最大，

∵k＜0，

∴﹣k＞0，

∵=2×6＝12，当且仅当时，取等号，

解得：k＝±，

∵k＜0，

∴k＝﹣，

即OA＝4﹣3k＝8，OB＝6，

根据勾股定理得：AB＝10，

设三角形AOB的内切圆的半径是R，

由三角形面积公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，

解得：R＝2．