Question

【题目】在和中，，且，点在的内部，连接，，和，并且．

（观察猜想）

（1）如图①，当时，线段与的数量关系为_____，线段的数量关系为_______________；

（探究证明）

（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（拓展应用）

（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，若，请直接写出的面积．

Answer 1

【答案】（1），；（2）结论不成立，，见解析；（3）2

【解析】

（1）猜想，．观察可得和分别在和中，根据已知条件和角的和差关系可证明，即可得到；将线段通过相等的线段转化到中，再通过等角的代换证得是直角三角形，进而通过勾股定理证得线段，，之间的数量关系；（2）观察可得和分别在和中，根据已知条件和角的和差关系可证明，进而得到和之间的数量关系；同（1）即可证得线段之间的数量关系；（3）画出图形，利用（2）中的结论和已知条件即可求解．

解：（1）；；

[解法提示]∵，，

∴，都是等边三角形，∴，

∴，

∵，，∴，

∴，，

∴，

即，∴，

∵是等边三角形，∴，

∴，

即；

（2）（1）中的结论不成立，正确的结论为：，；

理由如下：∵，

∴，，，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

即，则；

（3）2

[解法提示]如图，∵，∴，

∴，

∵点在一条直线上，

∴，

∵，∴，

∴，设，则，

在中，，，

即，

解得或（舍去），

则．