Question

△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于A，过B作BD平行AE交AC延长线于D，若AC=4cm CD=3cm，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：过点A作直径AF，连接CF，如图，根据切线的性质，由AE切⊙O于A得到∠FAC+∠EAD=90°，再根据圆周角定理由AF为直径得到∠ACF=90°，则∠F+∠FAC=90°，可得到∠F=∠EAD，根据圆周角定理得∠F=∠ABC，根据平行线的性质得∠EAD=∠D，所以∠ABC=∠D，于是可证明△ABC∽△ADB，然后利用相似比可计算出AB．

解答：解：过点A作直径AF，连接CF，如图，
∵AE切⊙O于A，
∴AF⊥AE，
∴∠FAC+∠EAD=90°，
∵AF为直径，
∴∠ACF=90°，
∴∠F+∠FAC=90°，
∴∠F=∠EAD，
∵∠F=∠ABC，
∴∠ABC=∠EAD，
∵AE∥BD，
∴∠EAD=∠D，
∴∠ABC=∠D，
而∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴AB：AD=AC：AB，即AB：（4+3）=4：AB，
∴AB=2

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．