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【题目】如图(1ACABBDABAB12cmACBD8cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为ts).

1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t2时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由;

2)在(1)的条件下,判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,并证明;

3)如图(2),将图(1)中的“ACABBDAB”改为“∠CAB=∠DBA50°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的xt的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)△ACP与△BPQ全等,理由详见解析;(2PCPQ,证明详见解析;(3)当t2sx2cm/st3sxcm/s时,△ACP与△BPQ全等.

【解析】

1)利用SAS定理证明ACP≌△BPQ

2)根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系;

3)分ACP≌△BPQACP≌△BQP两种情况,根据全等三角形的性质列式计算.

1ACPBPQ全等,

理由如下:当t2时,APBQ4cm

BP1248cm

BPAC8cm

又∵∠A=∠B90°

ACPBPQ中,

∴△ACP≌△BPQSAS).

2PCPQ

证明:∵△ACP≌△BPQ

∴∠ACP=∠BPQ

∴∠APC+BPQ=∠APC+ACP90°

∴∠CPQ90°

即线段PC与线段PQ垂直.

3)①若ACP≌△BPQ

ACBPAPBQ

122t8

解得,t2s),

x2cm/s).

②若ACP≌△BQP

ACBQAPBP

2t×12

解得,t3s),则x8÷3cm/s),

故当t2sx2cm/st3sxcm/s时,ACPBPQ全等.

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