【题目】如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=2时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,并证明;
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)△ACP与△BPQ全等,理由详见解析;(2)PC⊥PQ,证明详见解析;(3)当t=2s,x=2cm/s或t=3s,x=cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
【解析】
(1)利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ;
(2)根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系;
(3)分△ACP≌△BPQ,△ACP≌△BQP两种情况,根据全等三角形的性质列式计算.
(1)△ACP与△BPQ全等,
理由如下:当t=2时,AP=BQ=4cm,
则BP=12﹣4=8cm,
∴BP=AC=8cm,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
(2)PC⊥PQ,
证明:∵△ACP≌△BPQ,
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
即线段PC与线段PQ垂直.
(3)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,
∴12﹣2t=8,
解得,t=2(s),
则x=2(cm/s).
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
则2t=×12,
解得,t=3(s),则x=8÷3=(cm/s),
故当t=2s,x=2cm/s或t=3s,x=cm/s时,△ACP与△BPQ全等.
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【题目】已知抛物线经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线 上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐
标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
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【题目】课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计算.
(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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【题目】如图,已知∠ACB=∠DBC,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠ABC=∠DCBB.∠ABD=∠DCA
C.AC=DBD.AB=DC
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【题目】若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E是射线DA上一点,连接EB,以点E为圆心EB长为半径画弧,交射线CB于点F,作射线FE与CD延长线交于点G.
(1)如图1,若DE=5,则∠DEG=______°;
(2)若∠BEF=60°,请在图2中补全图形,并求EG的长;
(3)若以E,F,B,D为顶点的四边形是平行四边形,此时EG的长为______.
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【题目】如图1,长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,B点坐标是(8,4),将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC,AD与BC相交于点E.
(1)求证:△CDE≌△ABE
(2)求E点坐标;
(3)如图2,动点P从点A出发,沿着折线A→B→C→O运动(到点O停止),是否存在点P,使得△POA的面积等于△ACE的面积,若存在,直接写出点P坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】(2016湖北省荆门市)如图,已知点A(1,2)是反比例函数图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点;若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是______________.
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