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【题目】在矩形ABCD中,AB=3AD=2,点E是射线DA上一点,连接EB,以点E为圆心EB长为半径画弧,交射线CB于点F,作射线FECD延长线交于点G

1)如图1,若DE=5,则∠DEG=______°;

2)若∠BEF=60°,请在图2中补全图形,并求EG的长;

3)若以EFBD为顶点的四边形是平行四边形,此时EG的长为______.

【答案】145;(2)见解析,EG=4+2;(32

【解析】

1)由题意可得AE=AB=3,可得∠AEB=∠ABE=45°,由矩形的性质可得ADBC,可得∠AEB=∠EBF=45°,∠EFB=∠GED,结合等腰三角形的性质,即可求解;

2)由题意画出图形,可得∠F=∠5=60°,可得∠6=∠G=30°,由直角三角形的性质可得AE=DE=2+,由直角三角形的性质可得EG的长;

3)由平行四边形的性质可得EF=BDED=BF,由等腰三角形的性质可得AE=AD=2,由勾股定理可求EF=BE=,由EHCGBM,HBF的中点,BHC的中点,即可求解.

1)∵DE=5AB=3AD=2

AE=AB=3

∴∠AEB=∠ABE=45°,

∵四边形ABCD是矩形,

ADCB,

∴∠AEB=∠EBF=45°,∠EFB=∠GED,

EF=EB,

∴∠EFB=∠EBF=45°,

∴∠GED=45°,

故答案为:45;

2)如图1所示.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠1=∠2=∠3=∠ABF=∠C=90°.

∵∠4=60°,EF=EB

∴∠F=∠5=60°.

∴∠6=∠G=30°,

AE=BE

AB=3

∴根据勾股定理可得:AE2+32=(2AE)2,解得:AE=

AD=2

DE=2+

EG=2DE =4+2

3)如图2,连接BD,过点EEHFC,延长BAFG于点M,

∵四边形EDBF是平行四边形,

EF=BDED=BF

EF=BE,

EB=BD,且ABDE,

AE=AD=2

BF=DE=4,

EB==

EF=

EF=BEEHFC,

FH=BH=2=BC,

CH=4,

EHBCCDBCABBC

EHCGBM,

HBF的中点,BHC的中点,

EFM的中点,MEG的中点,

EG2EF=2

故答案为:2

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