Question

【题目】如图，∠MON=120°，△ABC是等边三角形，O点是边BC的中点，将△ABC绕点O逆时针旋转一定的角度，OM与边AB相交于点D，ON与边AC（或AC的延长线）相交于点E．

（1）如图1，若OD⊥AB，垂足为D，BC=4，求CE的长；

（2）如图2，当ON与AC边交于点E时，求证：BD+CE=BC；

（3）如图3，当ON与AC边的延长线交于点E时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BD、BC、CE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）1(2)见解析（3）不成立

【解析】【试题分析】（1）如图1，△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得：∠B=∠C=60°，

因为点O是线段BC的中点，

根据中点的定义得：BO=OC=BC=2．

因为OD⊥AB，得∠ODB=∠ODA=90°，

根据三角形内角和定理得：∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°，

在Rt△OBD中，BD=OB=×2=1；

又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，

即∠OEC=90°，

根据AAS得：△OBD≌△OCE，

根据全等三角形的性质得：CE=BD=1；

（2）转化为（1），利用相同的思路证明即可；

（3）（2）中的结论不成立，线段BD、BC、CE之间的数量关系为BD﹣CE=BC．

理由： 由（1）知△OBP≌△OCQ，

根据全等三角形的性质得：BP=CQ，OP=OQ．

因为∠A=60°，利用四边形的内角和得：∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

因为∠DOE=120°，利用等式的 性质得：∠POD=∠QOE．

根据ASA得：△POD≌△QOE，根据全等三角形的性质得：PD=EQ．在Rt△BOP中，∠B=60°，根据30°所对的直角边是斜边的一半得：BP=OB=BC

得证：BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC．

【试题解析】

（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵点O是线段BC的中点，

∴BO=OC=BC=2．

∵OD⊥AB，得∠ODB=∠ODA=90°，

∴∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°，

在Rt△OBD中，BD=OB=×2=1；

又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，

∴∠OEC=90°，

∴△OBD≌△OCE，

∴CE=BD=1；

（2）过点O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，如图2，

则有∠OPD=∠OQE=90°．

同（1）的方法得，△OBP≌△OCQ，

∴OP=OQ．

∵∠A=60°，

∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

∵∠DOE=120°，

∴∠POD=∠QOE．

∴△POD≌△QOE，

∴PD=EQ．

∴BD+CE=BP+PD+CE=BP+EQ+CE=BP+CQ=2BP=2×OB=BC．

（3）（2）中的结论不成立，线段BD、BC、CE之间的数量关系为BD﹣CE=BC．

理由：如图3，过点O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，

则有∠OPD=∠OQE=90°．

由（1）知△OBP≌△OCQ，

∴BP=CQ，OP=OQ．

∵∠A=60°，

∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．

∵∠DOE=120°，

∴∠POD=∠QOE．

∴△POD≌△QOE，

∴PD=EQ．

在Rt△BOP中，∠B=60°，

∴BP=OB=BC

∴BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC．