Question

5．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，DE交直径AB于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=2，sin∠ADE=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，求OF及EF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，根据圆周角定理得∠AOD=2∠AED=90°，则OD⊥AB，再根据平行四边形的性质得AB∥DC，所以OD⊥DC，则根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE，由三角函数求出AB=4$\sqrt{2}$，得出OA=2$\sqrt{2}$，求出AH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，由△AHF∽△DOF，得出$\frac{AH}{DO}=\frac{HF}{OF}$，得出OF=2HF，在Rt△AHF中，由勾股定理求出HF，得出OF，EF=EH+HF，即可得出结果．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图1所示，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）作AH⊥EF于H，连结BE，如图2所示，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，而AE=2，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴OA=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∵△AHF∽△DOF，
∴$\frac{AH}{DO}=\frac{HF}{OF}$，
即$\frac{HF}{OF}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF，
在Rt△AHF中，AH²+FH²=AF²，
∴（$\sqrt{2}$）²+HF²=（2$\sqrt{2}$-2HF）²，
解得：HF=$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$或$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{14}}{3}$（舍去），
∴OF=2HF=$\frac{8\sqrt{2}-2\sqrt{14}}{3}$，
∴EF=EH+HF=$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$=$\frac{7\sqrt{2}-\sqrt{14}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理、平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度．