Question

【题目】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

试题分析：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，

∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC，∴△BDF≌△CND，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，

∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边，

∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．