【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A,C不重合),连接DE,作EF⊥DE交射线BA于点F,过点E作MN∥BC分别交CD,AB于点M、N,作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证:EF=DE;
(2)当AF=2时,求GE的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据正方形的性质以及EF⊥DE,证明△DME≌△ENF即可;
(2)根据勾股定理计算出DF,根据平行线的性质得到,计算出DG,FG的值,利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值,最后证明△DGE∽△AGF,利用相似比列出方程即可求出GE的值.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,且MN∥BC,
∴四边形ANMD是矩形,∠BAC=45°,
∴∠ANM=∠DMN=90°,EN=AN=DM,
∴∠DEM+∠EDM=90°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEM+∠FEN=90°,
∴∠EDM=∠FEN,
∴在△DME与△ENF中
∠DME=∠ENF=90°,DM=EN,∠EDM=∠FEN,
∴△DME≌△ENF(ASA),
∴EF=DE;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,∠DAB=90°,
∴DF=,
∴,即,解得:DG=,
∴FG=DF-DG=,
又∵DE=EF,EF⊥DE,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴∠EDF=45°,DE=EF=,
∴∠GAF=∠GDE=45°,
又∵∠DGE=∠AGF,
∴△DGE∽△AGF,
∴,即,解得:,
∴.
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【题目】如图,以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=25,BC=,求DE的长.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求的面积;
(3)根据图象直接写出的x的取值范围
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【题目】设函数y1=,y2=﹣(k>0).
(1)当2≤x≤3时,函数y1的最大值是a,函数y2的最小值是a﹣4,求a和k的值.
(2)设m≠0,且m≠﹣1,当x=m时,y1=p;当x=m+1时,y1=q.圆圆说:“p一定大于q”.你认为圆圆的说法正确吗?为什么?
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【题目】随着通讯技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式变得更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息回答下列问题:
(1)本次调查共调查了______名学生;在扇形统计图中,表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用“微信”沟通的学生有多少名?
(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系,请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率.
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【题目】如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,以AD为直径在矩形内作半圆,点E为半圆上的一动点(不与A、D重合),连接DE、CE,当△DEC为等腰三角形时,DE的长为_____.
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