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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点AC不重合),连接DE,作EFDE交射线BA于点F,过点EMNBC分别交CDAB于点MN,作射线DF交射线CA于点G

1)求证:EFDE

2)当AF2时,求GE的长.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)根据正方形的性质以及EFDE,证明△DME≌△ENF即可;

2)根据勾股定理计算出DF,根据平行线的性质得到,计算出DGFG的值,利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值,最后证明△DGE∽△AGF,利用相似比列出方程即可求出GE的值.

1)证明:∵四边形ABCD是正方形,且MNBC

∴四边形ANMD是矩形,∠BAC=45°

∴∠ANM=∠DMN=90°EN=AN=DM

∴∠DEM+∠EDM=90°

EF⊥DE

∴∠DEM+FEN=90°

∠EDM=FEN

∴在△DME与△ENF

∠DME=ENF=90°DM=EN∠EDM=FEN

∴△DME≌△ENFASA),

EFDE

2)∵四边形ABCD是正方形,

ABDC,∠DAB=90°

DF=

,即,解得:DG=

FG=DF-DG=

又∵DE=EFEFDE

∴△DEF是等腰直角三角形,

∴∠EDF=45°DE=EF=

∴∠GAF=GDE=45°

又∵∠DGE=∠AGF

∴△DGE∽△AGF

,即,解得:

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