Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，边AD与边BC交于点P（不与点B、C重合），点B、E在AD异侧，OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线．

　　　　

（1）当∠APC =60°时，求∠AOC的度数；

（2）当AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5时，设AP=x，用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当AB⊥AC，∠B=20°时，∠AOC的取值范围为α°<∠AOC <β°，直接写出α、β的值．

Answer 1

【答案】（1）∠AOC的度数为120°；（2）PD= ，PD的最大值为；（3）α=100，β=145．

【解析】

（1）根据三角形内角和求得∠PAC+∠PCA的度数，然后根据角平分线的定义求得∠OAC+∠OCA的度数，从而求解；

（2）在△ABC中，当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，由面积法求出AP的长，即可求出PD的最大值；

（3）如图，由已知可推出∠BAC=90°，设∠BAP=y，则∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，

推出∠AOC=y+100°，，因为0°＜y＜90°，可推出100°＜∠AOC＜145°，即可写出α、β的值．

解：在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=120°

又∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线

∴∠OAC+∠OCA=∠PAC+∠PCA=（∠PAC+∠PCA）=60°

∴在△OAC中，∠AOC=180°-60°=120°

（2）∵AD=AB=4，而PD=AD-AP=4-AP=4-x，

∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，

此时，S△ABC=BCAP=ABAC，

即×5x=×4×3，

解得，x=，

∴PD=，PD的最大值为：4-=；

（3）如图，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC=90°，

设∠BAP=y，则∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，

∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线，

∴∠OAC=∠PAC，∠OCA=/span>∠PCA，

∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）

=180°-（∠PAC+∠PCA）

=180°-（90°-y+70°）

=y+100°，

∵0°＜y＜90°，

∴100°＜y+100°＜145°，

即100°＜∠AOC＜145°，

∴α=100，β=145．