Question

【题目】在四边形ABCD中，，，AC与BD交于点F．

(1) 如图1，求证：判断的形状并证明你的结论

(2) 如图2，若，且，猜想：和的数量关系并证明

(3) 如图3，若，点E在AD上，，，，则BD＝_____

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析；（2），证明见解析；（3）8．

【解析】

（1）如图（见解析），延长BC至点G，使，连接DG，先根据平行四边形的判定与性质得出，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后根据等量代换可得，由此即可得；

（2）如图（见解析），设，则，先根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出，从而得出，然后根据角平分线的判定得出，最后根据等量代换即可得；

（3）如图（见解析），设，先利用平行线的性质、等腰三角形的性质可推出，，再设，从而可得，然后根据，在中利用直角三角形的性质可得DG、KG的长，从而在中，利用勾股定理可求出BG的长，由此即可得出答案．

（1）是等腰三角形，证明如下：

如图，延长BC至点G，使，连接DG

四边形ADGC是平行四边形

是等腰三角形；

（2），证明如下：

如图，过点B作于点H，过点F作于点E

设，则

由（1）知，是等腰三角形

，（等腰三角形的三线合一）

是等腰直角三角形

（角平分线的判定）

即；

（3）如图，延长CE、BA交于点H，延长BC至点K，使，连接DK，过点K作于点G

设

，

，即，

四边形EDKC是平行四边形

，

设，则，

故答案为：8．