Question

如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．
（1）若ED=4

6

，求AG；
（2）求证：2DF+ED=BD．

Answer 1

考点：正方形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：压轴题

分析：（1）利用已知条件可先求出OD的长，进而求出AD的长，又因为AG=AD，所以可求出AD的长；
（2）延长GF，过C作CM∥AG，交GF的延长线于M，连接DM，可证明四边形ACMG是平行四边形、△DCM是等边三角形，利用平行四边形的小性质和等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可证明2DF+ED=BD．

解答：解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，
∵∠ADE=15°，
∴∠EDO=30°
∵DE=4

6

，∠EOD=90°，
∴OD=6

2

，
在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；
（2）延长GF，过C作CM∥AG，交GF的延长线于M，连接DM．
∵AC∥GF，即AC∥GM，
∴四边形ACMG是平行四边形，
∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，
∵∠ADE=15°
∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，
∴∠DCM=60°，
∴△DCM是等边三角形，
∴DM=AD，
∵∠DMF=∠ADE=15°
∴△AED≌△DFM，
∴FM=ED，AE=DF
又∵AC=GM，
即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，
∴∠DGF=30°，
∴GF=2DF，
∴BD=2DF+ED．

点评：本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，特别是第二问题目的综合性很强难度不小．