Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝2OB．

（1）点F是直线BC上一动点，点M是直线AB上一动点，点H为x轴上一动点，点N为x轴上另一动点（不与H点重合），连接OF、FH、FM、FN和MN，当OF+FH取最小值时，求△FMN周长的最小值；

（2）如图2，将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A′O′B，其中点A对应点为A′，点O对应点为O'，连接CO'，将△BCO'沿着直线BC平移，记平移过程中△BCO'为△B'C'O″，其中点B对应点为B'，点C对应点为C'，点O′对应点为O″，直线C'O″与x轴交于点P，在平移过程中，是否存在点P，使得△O″PC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）满足条件的点P为：（8+2，0）或（，0）或（5，0）

【解析】

（1）先求出点A，点B坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，作点O关于直线BC的对称点O'（），过点O'作O'H⊥OC于点F，交BC于点H，此时OF+FH的值最小，求出点F坐标，作点F关于直线AB与直线OC的对称点，连接F'F'交直线AB于点M，交直线OC于点N，此时△FMN周长有最小值，由两点距离公式可求△FMN周长的最小值；

（2）分O'C＝PC，O'P＝PC，O'P＝O'C三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．

解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当x＝0时，y＝2，

当y＝0时，x＝﹣2，

∴点A（﹣2，0），点B（0，2）

∴OB＝2

∵OC＝2OB．

∴OC＝4

∴点C（4，0）

设直线BC解析式为：y＝kx+2，且过点C（4，0）

∴0＝4k+2

∴k＝

∴直线BC解析式为：y＝x+2，

如图，作点O关于直线BC的对称点O'（），过点O'作O'H⊥OC于点F，交BC于点H，此时OF+FH的值最小．

∴点F的横坐标为

∴点F（）

作点F关于直线OC的对称点F'（），

作点F关于直线AB的对称点F'（）

连接F'F'交直线AB于点M，交直线OC于点N，此时△FMN周长有最小值，

∴△FMN周长的最小值＝

（2）∵将△AOB绕着点B逆时针旋转90°得到△A'O’B，

∴O'点坐标（2，2）

设直线O'C的解析式为：y＝mx+b

∴

∴

∴直线O'C的解析式为：y＝﹣x+4

如图，过点O'作O'E⊥OC

∴OE＝2，O'E＝2

∴EC＝O'E＝2

∴∠O'CE＝45°

∵将△BCO'沿着直线BC平移，

∴O'O'∥BC，O'C∥O'C'，

∴设O'O'的解析式为y＝x+n，且过（2，2）

∴2＝×2+n

∴n＝3

∴直线O'O'的解析式为y＝x+3

若CO'＝CP，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝CP

∴∠CO'P＝∠O'PC＝45°

∴∠O'CP＝90°

∴点O'的横坐标为4，

∴当x＝4时，y＝×4+3＝1

∴点O'（4，1）

∴CO'＝1＝CP

∴点P（5，0）

若CO'＝O'P，如图，过点O'作O'N⊥CP于N，

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PC＝45°

∵CO'＝O'P

∴∠O'CP＝∠CPO'＝45°，

∴∠CO'P＝90°，且CO'＝O'P，O'N⊥CP

∴CN＝PN＝O'N＝CP

设CP＝a，

∴CN＝PN＝O'N＝CP＝a

∴点O'（4+a，a），且直线O'O'的解析式为y＝﹣x+3

∴a＝﹣（4+a）+3

∴a＝

∴CP＝

∴点P（，0）

若CP＝O'P，如图，过点O'作O'N⊥CP于N

∵O'C∥O'C'，

∴∠O'CE＝∠O'PM＝45°

∴∠O'PN＝∠O'PM＝45°，且O'N⊥CP

∴∠NPO'＝∠PO'N＝45°

∴PN＝O'N

∴O'P＝PN＝CP

设PN＝b，则O'N＝b，CP＝PO'＝b

∴点O'坐标（4+b+b，﹣b），且直线O'O'的解析式为y＝x+3

∴﹣b＝×（4+b+b）+3

∴b＝2+2

∴CP＝4+2

∴点P坐标（8+2，0）

综上所述：满足条件的点P为：（8+2，0）或（，0）或（5，0）