Question

12．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，连接BE，分别以B、E为圆心，以大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径作弧，两弧交于点M、N，若直线MN恰好过点C，则AB的长度为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图，连接EC由FC垂直平分BE，得到∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，由于FC=FC，推出△BFC≌△CEF（SAS），于是得到BC=EC利用勾股定理可得AB=CD=$\sqrt{3}$．

解答 解：如图，连接EC
∵FC垂直平分BE，即∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，
又∵FC=FC，
在△BFC与△CEF中$\left\{\begin{array}{l}{EF=BF}\\{∠BFC=∠EFC}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△CEF（SAS），
∴BC=EC
又∵AD=BC，AE=1
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD=$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明三角形全等后易求解．本题难度中等．