Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，AC=2，BD=4．AB=$\sqrt{5}$，则平行四边形ABCD的高AH的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先由平行四边形的性质得出OA=1，OB=2，再根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，那么平行四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积不变求出AH的长．

解答 解：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，AC=2，BD=4，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=1，OB=$\frac{1}{2}$=2，
∴OA²+OB²=1+4=5=AB²，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=$\sqrt{5}$，
∴S_菱形ABCD=BC•AH=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴AH=$\frac{\frac{1}{2}×2×4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，再利用菱形的面积公式列式计算．