Question

【题目】如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动(不与B、C重合)，点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD=DE=DF.

(1)若∠AED=30°，则∠ADB=_______°.

(2)求证：△BED≌△CDF

(3)点D在BC边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为( )

A.不变 B.一直变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大

Answer 1

【答案】(1)90°；(2)证明见解析；(3)D

【解析】

（1）根据AD=DE，可知∠DAE=∠AED，根据三角形内角和定理从而可知∠ADB的度数；

（2）通过AD=DE=DF，可以得知∠BDE=∠DFC，由三角形ABC为等边三角形，可知∠DBE=∠FCD，从而根据AAS可证得△BED≌△CDF；

（3）根据AD=DE，△ABC为边长为2的等边三角形，可得出AD的最小值，在D运动过程中，BD是一直变大的过程，而AD是由大变小在变大的过程，经过分析即可选出答案。

（1）∵AD=DE，

∴∠DAE=∠AED=30°，

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=60°

∴∠ADB=180°-∠DAE-∠ABC=90°

（2）证明：∵AD=DE=DF，

∴∠BED=∠BAD，∠DAC=∠DFC

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BED+∠BDE=∠ABC=60°（三角形外角定理）

即∠BAD+∠BDE=60°

又∵∠BAD+∠DAC=60°

∴∠BDE=∠DAC

∴∠BDE=∠DFC

∵∠DBE=180°-∠ABC，∠FCD=180°-∠ACB

∴∠DBE=∠FCD

在△BED中△CDF中

△BED≌△CDF（AAS）

（3）∵△BED周长是BE+BD+DE，DE=AD

∴△BED周长是BE+BD+AD

∵点D运动过程中，BE不变，BD在逐渐变大，

∴可以不考虑BE与BD

∴影响△BED周长的是AD，

又∵AD在变化过程中会经历一个由大变小在变大的过程，在AD⊥BC时有最小值

∴△BED周长变化规律为先变小在变大

∴选D