Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，

∴∠FDC=36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO=90°﹣36°=54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OD，

∴∠ODC=54°，

∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．

【解析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠ABC=∠ADC=90°，即可得；
（2）先求出∠FDC=36°，再由DF⊥AC，可得∠DCO=54°，再由矩形的性质可得∠ODC=54°，从而求得∠BDF的度数.