Question

1．在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点，求证：DM⊥CM．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，由在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点，易得AD=AM=BM=BC，继而证得DM，CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，继而证得结论．

解答 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC，
∵AB=2BC，M是AB的中点，
∴AD=BC=AM=BM，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCM=∠BMC，
∵AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，∠DCM=∠BMC，
∴∠ADM=∠CDM，∠BCM=∠DCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠BCD=180°，
∴∠CDM+∠DCM=$\frac{1}{2}$∠ADC+$\frac{1}{2}$∠BCD=90°，
∴∠CMD=90°，
即CM⊥DM．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的性质．注意根据题意作出图形，结合图形求解是关键．