Question

【题目】如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．

（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；

（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．

Answer 1

【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的长为12

【解析】

（1）连接OQ，根据正六边形的特点和内角和求出∠EBC =60°，然后通过弧之间的关系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因为BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；

（2）在BE上截取EM=HE，连接HM，首先根据正六边形的性质得出是等边三角形，则有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，从而有∠C=∠HMB=120°，然后通过等量代换得出∠GBC=∠HBE，由此可证明△BCG∽△BMH，则有，即，则y关于x的函数关系式可求，因为点Q在边CD上，则x的取值范围可求；

（3）分两种情况：①当点G在边CD上时：又分当时和当时两种情况；②当点G在CD的延长线上时，同样分当时和当时两种情况，分别建立方程求解并检验即可得出答案．

解：（1）如图，连接OQ．

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴BC=DE，∠ABC=120°．

∴，∠EBC=∠ABC=60°．

∵点Q是的中点，

∴．

∴，

即．

∴∠BOQ=∠EOQ，

又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，

∴∠BOQ=∠EOQ=90°．

又∵BO=OQ，

∴∠OBQ=∠BQO=45°，

∴∠CBG=60°45°=15°．

（2）如图，在BE上截取EM=HE，连接HM．

∵六边形ABCDEF是正六边形，直径BE=8，

∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，

∴∠FEB=∠FED=60°．

∵EM=HE，

∴是等边三角形，

∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，

∴∠C=∠HMB=120°．

∵∠EBC=∠GBH=60°，

∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，

即∠GBC=∠HBE．

∴△BCG∽△BMH，

∴．

又∵CG= x，BE=8，BC=4，

∴，

∴y与x的函数关系式为（）．

（3）如图，当点G在边CD上时．

由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，

① 当时，

∵AF=ED，

∴FH=DG，

∴，

即：，解分式方程得．

经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．

② 当时，

即：，解分式方程得．

经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．

如图，当点G在CD的延长线上时．

由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，

① 当时，

∵AF=ED，

∴FH=DG

∴，

即：，解分式方程得．

经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．

② 当时，

即：，解分式方程得．

经检验是原方程的解，且符合题意．

∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．