Question

直线y=-

3

3

x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-

3

，0），另一条直线经过点A、C．
（1）求线段AC所对应的函数表达式；
（2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度．当点M运动到C点时停止运动．设M运动t秒时，△ABM的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S=0.5S_△ABC，求出对应的t值；
③当t=4时，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据M的运动时间及运动速度，可得BM的长，根据正切函数值，可得∠B的大小，再根据正弦函数，可得MD的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据等底三角形面积间的S=0.5S_△ABC的关系，可得MD=

1

2

OB，可得答案；
③根据∠P₁BM的余弦，可得BP₁的长，根据线段的和差，可得P₁的坐标，根据余角的关系，可得∠P₂BO的大小，再根据∠P₂BO的余切，可得OP₂的长．

解答：解：（1）当y=0时，-

3

3

x+3=0，解得x=3

3

，即B（3

3

，0）
当x=0时，y=3，即C点坐标是（0，3）．
设线段AC所对应的函数表达式y=kx+b，凸显非经过A、C点，得

- 3 k+b=0 b=3

，
解得

k= 3 b=3

．
故线段AC所对应的函数表达式y=

3

x+3；
（2）如图1：

①由动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，行驶t秒，得BM=t，
由线段的和差，得AB=3

3

-（-

3

）=4

3

，
由正切函数，得tan∠B=

OC

OB

=

3

3 3

=

3

3

，∠B=30°，
由正弦函数，得MD=BM•sin∠B=

1

2

t．
由三角形面积公式，得S=

1

2

AB•MD=

1

2

×

1

2

t×4

3

=

3

t
即S=

3

t；
②由S=0.5S_△ABC，得MD=

1

2

OC=

3

2

，即

1

2

t=

3

2

，解得t=3，
当t=3时，S=0.5S_△ABC；
③如图2：
，
当t=4时，P₁（

3

3

，0），P₂（0，-9）使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用正弦函数得出三角形的高，利用了三角形的面积公式，利用了三角形的正切函数．