Question

14．设实数a，b，c满足：abc≠0且14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²，求$\frac{{a}^{2}+{2b}^{2}+{3c}^{2}}{ab+ac+bc}$的值．

Answer 1

分析 首先把14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²展开，进一步利用完全平方公式分组整理，求得a、b、c之间的关系，代入求得答案即可．

解答 解：∵14（a²+b²+c²）=（a+2b+3c）²，
∴14a²+14b²+14c²-a²-4b²-9c²-4ab-6ac-12bc=0，
∴13a²+10b²+5c²-4ab-6ac-12bc=0，
∴（2a-b）²+（3a-c）²+（3b-2c）²=0，
∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0，
∴b=2a，c=3a，
∴$\frac{{a}^{2}+{2b}^{2}+{3c}^{2}}{ab+ac+bc}$=$\frac{{a}^{2}+8{a}^{2}+27{a}^{2}}{2{a}^{2}+3{a}^{2}+6{a}^{2}}$=$\frac{36}{11}$．

点评 此题考查分式的化简求值，非负数的性质，掌握完全平方公式因式分解是解决问题的关键．