【题目】如图,抛物线(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,)或P(1,).
【解析】
试题分析:(1)先求出点C的坐标,在由BO=OC=3AO,确定出点B,A的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先求出点A,B,C,D,E的坐标,从而求出BC,BE,CE,OD,OB,BD,求出比值,得到得出结论;
(3)设出点P的坐标,表示出PB,PC,求出BC,分三种情况计算即可.
试题解析:(1)∵抛物线,∴c=﹣3,∴C(0,﹣3),∴OC=3,∵BO=OC=3AO,∴BO=3,AO=1,∴B(3,0),A(﹣1,0),∵该抛物线与x轴交于A、B两点,∴,∴,∴抛物线解析式为;
(2)由(1)知,抛物线解析式为=,∴E(1,﹣4),∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴BC=,BE=,CE=,∵直线与y轴交于点D,∴D(0,1),∵B(3,0),∴OD=1,OB=3,BD=,∴,,,∴,∴△BCE∽△BDO;
(3)存在,理由:设P(1,m),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴BC=,PB=,PC=,∵△PBC是等腰三角形,∴分三种情况讨论:
①当PB=PC时,∴=,∴m=﹣1,∴P(1,﹣1);
②当PB=BC时,∴=,∴m=,∴P(1,)或P(1,﹣);
③当PC=BC时,∴=,∴m=,∴P(1,)或P(1,);
综上所述:符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,)或P(1,).
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【题目】如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。
(1)结合图形指出对称点.
(2)连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系?
(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系?其它对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流。
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)图中的全等三角形有;
(2)从你找到的全等三角形中选出其中一对加以证明.
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【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.
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【题目】甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山,今年1月甲参加了两次登山活动.
(1)1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山,甲的平均攀登速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早15分钟到达顶峰.求甲的平均攀登速度是每分钟多少米?
(2)1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山,甲保持第(1)问中的速度不变,比丙晚出发0.5小时,结果两人同时到达顶峰,问甲的平均攀登速度是丙的多少倍?(用含h的代数式表示)
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