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【题目】如图,抛物线(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线与y轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)证明:△DBO∽△EBC;

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)证明见解析;(3)P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,)或P(1,).

【解析】

试题分析:(1)先求出点C的坐标,在由BO=OC=3AO,确定出点B,A的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)先求出点A,B,C,D,E的坐标,从而求出BC,BE,CE,OD,OB,BD,求出比值,得到得出结论;

(3)设出点P的坐标,表示出PB,PC,求出BC,分三种情况计算即可.

试题解析:(1)∵抛物线,∴c=﹣3,∴C(0,﹣3),∴OC=3,∵BO=OC=3AO,∴BO=3,AO=1,∴B(3,0),A(﹣1,0),∵该抛物线与x轴交于A、B两点,∴,∴,∴抛物线解析式为

(2)由(1)知,抛物线解析式为=,∴E(1,﹣4),∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴BC=,BE=,CE=,∵直线与y轴交于点D,∴D(0,1),∵B(3,0),∴OD=1,OB=3,BD=,∴,∴,∴△BCE∽△BDO

(3)存在,理由:设P(1,m),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴BC=,PB=,PC=,∵△PBC是等腰三角形,分三种情况讨论:

①当PB=PC时,∴=,∴m=﹣1,∴P(1,﹣1)

②当PB=BC时,∴=,∴m=,∴P(1,)或P(1,﹣

③当PC=BC时,∴=,∴m=,∴P(1,)或P(1,

综上所述:符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,)或P(1,

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