Question

【题目】24.在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．

（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；

（2）若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2．

【解析】试题分析：（1）证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；

（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形；

（2）∵四边形BFDE为菱形，

∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE=30°，

∵∠A=90°，AB=2，

∴AE=，BE=2AE=，

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．