【题目】如图1,抛物线过点
轴上的
和
点,交
轴于点
,点
该物上限一点,且
.
(1)抛物线的解析式为:____________;
(2)如图2,过点作
轴交直线
于点
,求点
在运动的过程中线段
长度的最大值;
(3)如图3,若,在对称轴左侧的抛物线上是否存在点
,使
?若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
【解析】
(1)根据,
易知点C(0,3),将点A,C的坐标代入
中,即可得到b,c的值,从而得到抛物线的解析式;
(2)先根据B,C坐标确定直线BC的解析式为,设
,则
,则PD的长度为
,结合x的取值范围,利用二次函数的性质求PD长度的最大值;
(3)首先由,OB=OC,易知∠BCP=∠OCB=45° ,得到PC//OB,设直线BQ与y轴交于点G,结合条件证得△CPB≌△CGB,得到CG=CP=2,得到点G的坐标,利用B,G得到直线BQ的解析式,再与抛物线的解析式联立方程组,从而求得交点Q的坐标并说明了其存在.
解:(1)∵,
易知点C(0,3), 将点A,C的坐标代入
中得到
,解得
,∴抛物线的解析式为:
.
(2)由,得B(3,0)
设直线BC的解析式为
将点代入得
∴直线BC的解析式为
设点,则
∴
.
∴当时,PD有最大值
.
(3)存在
∵,点P在第一象限,∴
∵B(3,0),C(0,3)
∴OC=OB
∴△BOC是等腰直角三角形
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠BCP=∠OCB=45°,∴CP∥OB,∴P(2,3)
设BQ与y轴交于点G
在△CPB和△CGB中:
,∴△CPB≌△CGB(ASA)
∴CG=CP=2
∴OG=1
∴点G(0,1),
设直线BQ:
将点B(3,0)代入,∴
,
∴直线BQ:,
联立直线BQ和二次函数解析式
解得:或
(舍去)
.
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【题目】王老师从学校出发,到距学校的某商场去给学生买奖品,他先步行了
后,换骑上了共享单车,到达商场时,全程总共刚好花了
.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍(转换出行方式时,所需时间忽略不计).
(1)求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少?
(2)买完奖品后,王老师原路返回,为按时上班,路上所花时间最多只剩10分钟,若王老师仍采取先步行,后换骑共享单车的方式返回,问:他最多可步行多少米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA′B′C′,则点B的对应点B′的坐标为_____.
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【题目】如图,已知反比例函数的图象与直线
都经过点
,
,且直线
交
轴于点
,交
轴于点
,连接
,
.
(1)直接写出,
的值及直线
的函数表达式;
(2)与
的面积相等吗?写出你的判断,并说明理由;
(3)若点是
轴上一点,当
的值最小时,求点
的坐标.
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【题目】如图①,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E在BC上,连接BD,DE,∠CDE=∠ABD.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)如图②,当∠ABC=90°时,线段DE与BC有什么数量关系?请说明理由.
(3)如图③,若AB=AC=10,sin∠CDE=,求BC的长.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数的图象上,点C,D在反比例函数
的图象上,AC//BD//y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为
,则k的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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