Question

如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）求证：△ECF∽△EGC；
（3）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明；
（2）首先利用平行线的性质得出∠DAE=∠G，进而得出∠G=∠DCE，进而得出答案；
（3）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB DE=DE

∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE．

（2）证明：∵AD∥AC，
∴∠DAE=∠G，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；

（3）解：判断FG=3EF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

EC

=

EC

EG

，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴

EF

AE

=

1

2

，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．

点评：此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质等知识，得出△ADE≌△CDE是解题关键．