Question

13．已知方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两锐角的余弦，求m的值．

Answer 1

分析 设直角三角形的两锐角分别为α，β，根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用完全平方公式化简，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答 解：设直角三角形的两锐角分别为α，β，
根据题意得：方程4x²-2（m+1）x+m=0的两根为cosα与cosβ（sinα=cosβ），
∴cosα+cosβ=cosα+sinβ=-$\frac{-2（m+1）}{4}$，cosαsinβ=$\frac{m}{4}$＞0，
又sin²α+cos²β=1，
∴（cosα+sinβ）²-2sinαcosβ=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$-$\frac{m}{2}$=1，
整理得：m²=3，
解得：m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$（舍去），
则m的值为$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．