Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.动点P、Q分别从O、B同时出发，其中点P以每秒4个单位的速度沿OB向终点B运动,点Q以每秒5个单位的速度沿BA向终点A运动.设运动时间为t秒.

(1)连结PQ，若△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似，求t的值；

(2)连结AP、OQ，若AP⊥OQ，求t的值；

(3)试证明：PQ的中点在△AOB的一条中位线上.

Answer 1

【答案】（1）当t=1或t=时，△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似；（2）t=；（3）见解析.

【解析】

（1）根据一次函数解析式求出A、B坐标，得到OA、OB的值，然后分情况讨论：①当时，△BPQ∽△BOA；②当时，△BPQ∽△BAO，根据比例式，分别代入数据求出t值即可；

（2）过点Q作QC⊥y轴，垂足为C，根据△BCQ∽△BOA可求出CQ=3t，CO=8-4t，然后根据AP⊥OQ利用同角的余角相等证明∠CQO=∠APO，进而得到△AOP∽△OCQ，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；

（3）首先求出P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，可得PQ中点的坐标为（，4），由△AOB的一条中位线所在直线为y=4可得结论.

解：(1)令y=0，则，

解得：x=6，

∴A(6，0)，则OA=6，

令x=0，则y=8，

∴B(0，8)，则OB=8，

∵∠AOB=90°

∴AB=，

由已知得OP=4t，BQ=5t，

∴BP=8-4t，

∵∠OBA=∠PBQ，

∴分两种情况讨论

①当时，△BPQ∽△BOA，

∴，解得t=1；

②当时，△BPQ∽△BAO，

∴，解得t=，

综上所述，当t=1或t=时，△AOB和以B、P、Q为顶点的三角形相似；

(2)过点Q作QC⊥y轴，垂足为C，

则CQ//OA，

∴△BCQ∽△BOA，

∴，

∴，

解得：BC=4t，CQ=3t，

∴CO=8-4t，

∵∠QCO=90°，

∴∠CQO+∠COQ=90°，

∵AP⊥OQ，

∴∠COQ+∠APO=90°，

∴∠CQO=∠APO，

∴△AOP∽△OCQ ，

∴，

∴

解得t=；

(3)由（2）得BC=4t，CQ=3t，OC=8-4t，

∴P(0，4t)、Q(3t，8-4t)，

∴PQ中点的坐标为（，4），

∵△AOB的一条中位线所在直线为y=4，

∴PQ的中点在△AOB的一条中位线上.