Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=AC，CE=10，EF=14，求CD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CD=．

【解析】

（1）连接BD，由直径所对的圆周角是可知∠BCD=90°，结合三角形外角的性质及同弧所对的圆周角相等可得∠BDC+∠CDE=90°，由切线的判定定理可证结论；

（2）由∠BAF=∠BDE=90°可得∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB，由等腰三角形两底角相等的性质及同弧所对的圆周角相等，等量代换可得∠F=∠FDE，易知DE长，由勾股定理可求得CD长．

解：（1）如图，连接BD．

∵∠BAD=90°，

∴点O必在BD上，即：BD是直径，

∴∠BCD=90°，

∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，

∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ADB，

∴∠F=∠FDE，

∴DE=EF=14．

∵CE=10，∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

∴CD==．