Question

11．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是AD=BE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件画出图形即可；
（2）在AE上截取AF=AC，连结BF，根据全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．

解答 解：（1）如图：；

（2）AD=BE，
理由是：在AE上截取AF=AC，连结BF，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°-90°=90°，
∴∠BAC=∠BAF，
在△ABF与△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}AB=AB\\∠BAF=∠BAC\\ AF=AC\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF=BC，AF=AC，∠BCA=∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA=180°，∠BCA+∠DCA=180°，
∴∠BFE=∠DCA，
∵BC=DC，BC=BF，
∴BF=DC，
∵AC=AF，AE=2AC=AF+EF，
∴EF=AC=AF，
在△BFE和△DCA中
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DC}\\{∠BFE=∠DCA}\\{FE=CA}\end{array}\right.$
∴△BFE≌△DCA，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．