Question

如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，AD为∠BAC平分线交BC于E，BD⊥AD．求证：AE=2BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：延长BD和AC交于F，求出∠CAE=∠CBF，AC=BC，证△EAC≌△FBC，△BAD≌△FAD，推出AE=BF，BD=DF，即可得出答案．

解答：证明：延长BD和AC交于F，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵BD⊥AD，
∴∠ACE=BDE=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴根据三角形内角和定理得：∠DBE=∠CAE，
在△ACE和△BCF中，

∠EAC=∠CBF AC=BC ∠ACE=∠BCF

，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，
在△BAD和△FAD中，

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADF=90°

，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴BD=DF，
即BF=2BD，
∴AE=2BD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AE=BF和BD=DF，题目比较好，难度适中．