Question

如图10，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）(q＜n），点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，

CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2．

求证：四边形ABCD是矩形．

 

Answer 1

解1：∵ AB∥CD，

∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.

∵ BE＝DE，

∴ △AEB≌△CED. 

∴ AB＝CD＝4.       

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.              

A（2，n），B（m，n）（m＞2），

∴ AB∥x轴，且CD∥x轴.

∵ m＞2，∴m＝6.                         

∴n＝×6＋1＝4.

∴ B（6，4）.                                

∵△AEB的面积是2，

∴△AEB的高是1.                        

∴平行四边形ABCD的高是2.

∵ q＜n，

∴q＝2.

∴p＝2，                                

即D（2，2）.                 

∵点A（2，n），

∴DA∥y轴.                              

∴AD⊥CD，即∠ADC＝90°.      

∴四边形ABCD是矩形.                     

解2：∵AB∥CD，

∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.

∵ BE＝DE，

∴ △AEB≌△CED.

∴ AB＝CD＝4.     

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.              

∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），

∴ AB∥x轴，且CD∥x轴.

∵ m＞2，∴m＝6.                        

∴n＝×6＋1＝4.

∴ B（6，4）.      

过点E作EF⊥AB，垂足为F，

∵△AEB的面积是2，

∴EF＝1.                                ∵ q＜n，

∴点E的纵坐标是3.

∴点E的横坐标是4.

∴点F的横坐标是4.                 

∴点F是线段AB的中点.

∴直线EF是线段AB的中垂线.

∴EA＝EB.                          

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE＝EC，BE＝ED.

∴AC＝BD.                

∴四边形ABCD是矩形.