Question

已知△PDC，A、B分別是PD和PC上一点，∠ABC=∠BCD，求证：PA•PD=PB•PC+AB•CD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；证明△APB∽△EDC，△APB∽△EPD，列出比例式，变形、化简，运算即可解决问题．

解答：证明：如图，延长PC到E，连接DE，使∠E=∠BAP；
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABP=∠DCE；又∠E=∠BAP，
∴∠P=∠CDE，
∴△APB∽△EDC，△APB∽△EPD，
∴PB：DC=AB：EC，PB：PD=PA：PE，
∴AB•DC=PB•EC，
PA•PD=PB•PE
=PB（PC+CE）
=PB•PC+PB•CE
PB•PC+AB•DC，
即：PA•PD=PB•PC+AB•CD．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．