Question

【题目】已知：△ABC为等边三角形．

（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．

①根据题意，将（1）中图形补全；

②求证：EF∥BC；

③若DE＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）如图所示：⊙O即为所求．见解析；（2）①如图2，补全图形，见解析；②证明见解析；③EF＝．

【解析】

（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；
（2）①按题意画出图形即可；
②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；

③得出∠BOD=60°，设OD=x，则OB=OE=2+x，得出cos∠BOD，

求出x=2，得出tan∠BAD，则可求出EF的值．

（1）如图所示：⊙O即为所求．

（2）①如图2，补全图形：

②证明：连接OB，OC，

∵OB＝OC，

∴点O在线段BC的垂直平分线上，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上，

∴AO垂直平分BC，

∴AE⊥BC．

∵直线EF为⊙O的切线，

∴AE⊥EF，

∴EF∥BC；

③解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴∠BAD＝∠BAC，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝60°，

∵DE＝2，

设OD＝x，

∴OB＝OE＝2+x，

在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，

∴cos∠BOD＝，

∴x＝2，

∴OD＝2，OB＝4，

∴AE＝8，

在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，

∴tan∠BAD＝，

∴EF＝．