Question

15．已知抛物线y=x²+3x+c过两点（m，0）、（n，0）且m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8，抛物线与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点为（1，d）．
（1）求抛物线与双曲线的解析式；
（2）已知点P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，它们的横坐标分别为a，2a，…，2012a，O为坐标原点，记${S_1}={S_{△{P_1}{P_2}O}}，{S_2}={S_{△{P_1}{P_3}O}}，{S_3}={S_{△{P_1}{P_4}O}}$，…点Q在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，过Q作QM⊥y轴于M，记S=S_△QMO．求S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题可知m、n是方程x²+3x+c=0的两根，从而可得m²+3m+c=0，m+n=-3，将m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8转化为m（m²+3m+c）-2（m+n）-c=8，就可求出c，即可得到抛物线的解析式，再根据抛物线与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点为（1，d），可求出d和k，即可得到双曲线的解析式；
（2）过点P₁作直线a₁∥x轴交y轴于A₁，过P_n+1作直线b_n+1∥y轴交x轴于B_n+1、交a₁于C_n+1，如图，运用割补法可求得Sn=$n+\frac{n}{n+1}$．设Q（x₁，y₁），则有${y_1}=\frac{2}{x_1}$，即可得到$S={S_{△QMO}}=\frac{1}{2}|{x_1}|•|{y_1}|=1$，然后代入所求式子中，就可解决问题．

解答 解：（1）根据题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{m（{m}^{2}+3m+c）-2（m+n）-c=8}\\{{m}^{2}+3m+c=0}\\{m+n=-3}\end{array}\right.$，
解得c=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²+3x-2．
∵抛物线与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点为（1，d），
∴$\left\{\begin{array}{l}{d={1}^{2}+3×1-2}\\{d=\frac{k}{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵点P₁，P₂，…，P_n+1都在双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，它们的横坐标分别为a，2a，…，（n+1）a，
∴点P₁，P₂，…，P_n+1的纵坐标分别为$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{2a}$，…，$\frac{2}{（n+1）a}$．
过点P₁作直线a₁∥x轴交y轴于A₁，过P_n+1作直线b_n+1∥y轴交x轴于B_n+1、交a₁于C_n+1，如图，

则Sn=S_P1Pn+1O=（n+1）a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}a•\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}（n+1）a•\frac{2}{（n+1）a}$-$\frac{1}{2}[（n+1）a-a][\frac{2}{a}-\frac{2}{（n+1）a}]$
=$n+\frac{n}{n+1}$．
设Q（x₁，y₁）（x₁＜0），则${y_1}=\frac{2}{x_1}$，
∴$S={S_{△QMO}}=\frac{1}{2}|{x_1}|•|{y_1}|=1$．
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$
=（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{2}{3}$）+…+（2011+$\frac{2011}{2012}$）+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$
=1+2+…+2011+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{2011}{2012}$+$\frac{1}{2012}$
=1+2+…+2011+1×2011
=$\frac{（1+2011）×2011}{2}$+2011
=2025077．

点评 本题主要考查了抛物线与双曲线图象上点的坐标特征、根与系数的关系、方程解的定义等知识，对运算能力的要求比较高，技巧性强，如第（1）小题将m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8巧妙地转化为m（m²+3m+c）-2（m+n）-c=8，第（2）小题运用割补法得到Sn=$n+\frac{n}{n+1}$，代入运算时，将整数与同分母的分数分别相加，并运用等差数列的求和公式求和．