Question

12．如图，在长方形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在线段AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．
（1）求证：DN=MB；
（2）如果AB=4、BC=3时，求线段MN的长度；
（3）在（2）的条件下，求△NEM的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明DN=BM，只需推知△ADN≌△CBM即可．
（2）如图2中，作NH⊥AB于H．设DN=NF=x，则CN=4-x，CF=2，在Rt△NFC中，由CN²=CF²+NF²，列出方程求出x，在Rt△MNH中，求出NH、MH，根据MN=$\sqrt{H{N}^{2}+H{M}^{2}}$
计算即可．
（3）如图3中，连接EN，FM，首先证明四边形MENF是平行四边形，根据S_△MNE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形MENF}=S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EF•NF计算即可．

解答 （1）证明：如图1，由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B=90°}\\{AD=BC}\\{∠DAM=∠BCM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（ASA），
∴DN=BM；

（2）如图2中，作NH⊥AB于H．

在Rt△ADC中，∵∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折叠的性质得出可知，AD=AF=3，DN=NF，设DN=NF=x，则CN=4-x，CF=2，
在Rt△NFC中，∵CN²=CF²+NF²，
∴（4-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴DN=NF=$\frac{3}{2}$，
∵∠D=∠DAH=∠AHN=90°，
∴四边形ADNH是矩形，
∴NH=AD=3，AH=DN=$\frac{3}{2}$，HM=AM-AH=4-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{H{N}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

（3）如图3中，连接EN，FM．

∵NF⊥AC，EM⊥AC，DN=NF=BM=EM，
∴NF∥EM，NF=EM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴S_△MNE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形MENF}=S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EF•NF=$\frac{1}{2}$×（6-5）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形的证明，解答（3）问的关键是证明四边形MENF是平行四边形，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．