Question

【题目】（满分10分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB与这个二次函数的解析式；

（3）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？

Answer 1

【答案】(1) m>-1;(2) 直线AB的解析式为y=-x+3, 抛物线解析式为y=-x2+2x+3;(3) DE的最大值为.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线与x轴有两个交点时，△>0，即可得到结论；

（2）把点A（3，0）代入y=-x2+2x+m得到-9+6+m=0得到B（0，3），解方程组即可得到结论；

（3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD，得到当DE的值越大时，S△ADB的面积越大，设D（x，y），DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y根据图形的面积公式即可得到结论．

试题解析：

（1）当抛物线与x轴有两个交点时，△>0，即4+4m>0，

∴m>-1.

（2） ∵点A(3，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，

∴-9+6+m=0,∴m=3.

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，且B(0，3).

设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(3，0)，B(0，3)代入y=kx+b中，得到

解得，∴直线AB的解析式为y=-x+3.

（3）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作AG⊥CD，垂足为G，连接BD，AD.

∵AB为定值，∴当DE的值越大时， 的面积越大.

设D(x，y),DC=x，BC=y-3，DG=3-x，AG=y

∴

∵∴当时,

将代入y=-x2+2x+3，得到，即D(， )

又∵，且

∴.

∴

答：DE的最大值为.