Question

16．已知抛物线y=x²+bx+1经过点（1，0），（0，n）．
（1）b=-2，n=1．
（2）将该抛物线向下平移m（m＞0）个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若△ABC为等边三角形．
①求m的值；
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把（1，0），（0，n）分别代入y=x²+bx+1可求出b和n的值；
（2）①根据抛物线的平移规律得到抛物线y=（x-1）²向下平移m（m＞0）个单位所得抛物线解析式为y=（x-1）²-m，则A（1，-m），再根据抛物线与x轴的交点问题得到B（1-$\sqrt{m}$，0），C（1+$\sqrt{m}$，0），则BC=2$\sqrt{m}$，然后根据等边三角形的性质得$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{m}$=m，解得m=3；
②当m=3时，A（1，-3），抛物线解析式为y=（x-1）²-3，利用关于x轴的点的坐标特征得到D（1，3），根据平行四边形的性质得DP∥BC，DP=BC，而BC=2$\sqrt{3}$，于是可得P（1+2$\sqrt{3}$，3），然后判断P（1+2$\sqrt{3}$，3）不在抛物线y=（x-1）²-3上，于是得到不存在这样的P点．

解答 解：（1）把（1，0），（0，n）分别代入y=x²+bx+1得1+b+1=0，n=1，
所以b=-2，n=1；
故答案为-2，1；
（2）①y=x²-2x+1=（x-1）²，
将抛物线y=（x-1）²向下平移m（m＞0）个单位所得抛物线解析式为y=（x-1）²-m，则A（1，-m），
当y=0时，（x-1）²-m=0，解得x₁=1+$\sqrt{m}$，x₂=1-$\sqrt{m}$，则B（1-$\sqrt{m}$，0），C（1+$\sqrt{m}$，0），
∴BC=2$\sqrt{m}$，
∵△ABC为等边三角形，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{m}$=m，
∴m=3；
②不存在．理由如下：
当m=3时，A（1，-3），y=（x-1）²-3，
∵点A关于x轴的对称点为点D，
∴D（1，3），
要使四边形CBDP为平行四边形，则DP∥BC，DP=BC，
而BC=1+$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴P（1+2$\sqrt{3}$，3），
当x=1+2$\sqrt{3}$时，y=（x-1）²-3=12-3=9，
∴P（1+2$\sqrt{3}$，3）不在抛物线y=（x-1）²-3上，
∴不存在这样的P点．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等边三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求抛物线进行．