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【题目】如图,在矩形ABCD中,OAC中点,EFO点且EFAC分别交DCF,交ABE,若点GAE中点且∠AOG30°,则下列结论正确的个数为(  )

1OGE是等边三角形;(2DC3OG;(3OGBC;(4SAOES矩形ABCD

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°,从而判断出OGE是等边三角形,判断出(1)正确;设AE=2a,根据等边三角形的性质表示出OE,利用勾股定理列式求出AO,从而得到AC,再求出BC,然后利用勾股定理列式求出AB=3a,从而判断出(2)正确,(3)错误;再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出(4)正确.

解:∵EFAC,点GAE中点,

OGAGGEAE

∵∠AOG30°

∴∠OAG=∠AOG30°

GOE90°﹣∠AOG90°30°60°

∴△OGE是等边三角形,故(1)正确;

AE2a,则OEOGa

由勾股定理得,AOa

OAC中点,

AC2AO2a

BCAC×2aa

RtABC中,由勾股定理得,AB3a

∵四边形ABCD是矩形,

CDAB3a

DC3OG,故(2)正确;

OGaBCa

OGBC,故(3)错误;

SAOEaaa2

SABCD3aa3a2

SAOESABCD,故(4)正确;

综上所述,结论正确是(1)(2)(4),共3个.

故选:C

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