Question

【题目】如图，在矩形中，点是的中点，于点.

（1）若，求的长；

（2）在（1）的条件下，连接，求的长.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，

（2）根据勾股定理得到AE=＝，BD=，根据三角形的面积公式得到BF=，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAE+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，

∴∠BAE=∠ADB，

∴△ABE∽△DAB，

∴，

∵E是BC的中点，

∴AD=2BE，

∴2BE2=AB2=2，

∴BE=1，

∴BC=2.

（2）∵BC=2，点是的中点，

∴AE=＝，BD=，

∴由面积相等法可得BF=，

过F作FG⊥BC于G，如图，

∴FG∥CD，

∴△BFG∽△BDC，

∴，

∴FG=，BG=，

∴CG=，

∴CF=．