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【题目】如图,在扇形CAB中,CDAB,垂足为D,圆EACD的内切圆,切点分别为MNF,连接AEBE.

1)求∠AEB的度数;

2)若ADDBCD3,求扇形CAB的弧长和圆E的半径.

【答案】1)∠AEB135°;(2)扇形CAB的弧长为,圆E的半径为

【解析】

1)连接EC.首先求出∠AEC=135°,再证明△EAC≌△EAB即可解决问题;

2)连接BCEFEMENDE,证明△ABC是等边三角形,得出∠BAC=60°,由直角三角形的性质得出ADCD,得出AB=AC=2,由弧长公式求出扇形CAB的弧长,由切线的性质和三角形面积可求出圆E的半径.

1)连接EC.如图1所示:

E是△ADC的内心,∠ADC=90°,∴∠ACEACD,∠EACCAD,∴∠AEC=180°(∠ACD+CAD=135°,

在△AEC和△AEB中,∵,∴△EAC≌△EABSAS),∴∠AEB=AEC=135°;

2)连接BCEFEMENDE,如图2所示:

CDABAD=DB,∴AC=BC

AC=AB,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠ACD=30°,∴ADCD,∴AB=AC=2,∴扇形CAB的弧长为

∵圆E是△ACD的内切圆,切点分别为MNF,∴EFADENCDEMACEM=EF=EN

CDAB,∴△ACD的面积=ACE的面积+ADE的面积+CDE的面积,

32EMEF3×EN

解得:EF

即圆E的半径为

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